Selamat datang di modul Kalkulus Diferensial dan Integral Tingkat Lanjut (Turunan Fungsi Trigonometri, Aturan Rantai, Integral Parsial, & Volume Benda Putar) pada TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA/MA! Kalkulus tingkat lanjut merupakan pilar utama pemodelan laju perubahan fisis kontinu dan akumulasi kuantitas infinitesimal. Modul ini menguji penguasaan diferensiasi fungsi trigonometri dan implisit, penerapan aturan rantai multi-variabel, teknik pengintegralan parsial (\(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)) dan substitusi trigonometri, serta kalkulasi volume benda putar (metode cakram dan metode cincin silinder).
1. Diferensial Lanjut & Aturan Rantai
Turunan Fungsi Trigonometri
- \(\frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \cdot u'\)
- \(\frac{d}{dx}(\cos u) = -\sin u \cdot u'\)
- \(\frac{d}{dx}(\tan u) = \sec^2 u \cdot u'\)
- Turunan Implisit: Differensiasikan kedua ruas terhadap \(x\) dengan mengingat \(\frac{d}{dx}(y^n) = n y^{n-1} \frac{dy}{dx}\).
Aturan Rantai & Nilai Ekstrim
- Jika \(y = f(g(x))\), maka \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
- Titik Stasioner: \(f'(x) = 0\).
- Uji Turunan Kedua: \(f''(c) < 0 \implies\) Maksimum lokal; \(f''(c) > 0 \implies\) Minimum lokal; \(f''(c) = 0 \implies\) Uji gagal/titik belok.
Integral Parsial & Volume Benda Putar
Teknik Pengintegralan Parsial:
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \]
Prioritas pemilihan \(u\) mengikuti aturan LIATE (Logaritma, Invers trigonometri, Aljabar, Trigonometri, Eksponensial).
Volume Benda Putar (Metode Cakram):
\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \quad (\text{diputar mengelilingi sumbu-}x) \]
\[ V = \pi \int_a^b \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) \, dx \quad (\text{metode cincin}) \]