Selamat datang di modul Trigonometri Analitik Lanjut (Rumus Jumlah/Selisih Sudut, Sudut Ganda, & Konversi Perkalian-Penjumlahan) pada TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA/MA! Trigonometri tingkat lanjut merupakan instrumen analitik esensial dalam menganalisis fenomena gelombang elektromagnetik, dinamika osilasi mekanik, dan transformasi sinyal periodik. Modul ini menguji penguasaan penurunan rumus jumlah dan selisih dua sudut, identitas sudut ganda (\(2\alpha\)) dan sudut pertengahan (\(\frac{\alpha}{2}\)), rumus konversi hasil kali ke penjumlahan/pengurangan sinus-kosinus (dan sebaliknya), serta penyelesaian persamaan trigonometri non-trivial.
1. Identitas Analitik Trigonometri Lanjut
Jumlah & Selisih Sudut
- \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\)
- \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\)
- \(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)
Sudut Ganda & Setengah Sudut
- \(\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)
- \(\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha\)
- \(\tan(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\)
- \(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos \alpha}{2}\), \(\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}\)
Rumus Perkalian & Penjumlahan Sinus-Kosinus
Perkalian ke Penjumlahan:
- \(2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\)
- \(2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\)
- \(2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\)
- \(-2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\)
Penjumlahan ke Perkalian:
- \(\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\)
- \(\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\)
- \(\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\)
- \(\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\)