Nata Soal Nata Soal Belajar • Berlatih • Siap Ujian
Nata Soal
Beranda TKA Interaktif Semua Materi Bank Soal Rangkuman Dukung Kami
TKA SMA/MA Matematika Tingkat Lanjut Interaktif

Vektor pada Ruang Berdimensi Tiga dan Proyeksi Ortogonal – Materi & Latihan TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA/MA

Menganalisis konsep aljabar vektor pada R3, operasi perkalian skalar (dot product), perkalian silang (cross product), sudut antarvektor, serta proyeksi skalar dan proyeksi vektor ortogonal.

Tujuan Pembelajaran
  • Menghitung panjang vektor dan operasi dot product serta cross product pada ruang dimensi tiga (R3).
  • Menentukan besar sudut antara dua vektor dan syarat keortogonalan (tegak lurus).
  • Menghitung proyeksi skalar ortogonal dan vektor proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain.
  • Menerapkan cross product dalam menghitung luas segitiga dan jajaran genjang spasial.

Materi & Pembahasan Konsep

TKA SMA/MA

Selamat datang di modul Vektor pada Ruang Berdimensi Tiga (\(\mathbb{R}^3\)) dan Proyeksi Ortogonal pada TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA/MA! Vektor \(\mathbb{R}^3\) merupakan representasi spasial analitik yang krusial dalam fisika mekanika, robotika, dan komputasi grafika 3D. Modul ini menguji penguasaan konsep aljabar vektor 3D: operasi komponen basis (\(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)), besar panjang/norma vektor, perkalian titik (dot product) dan sudut antara dua vektor, perkalian silang (cross product) untuk menentukan luas dan vektor normal bidang, serta proyeksi skalar dan proyeksi vektor ortogonal.

1. Aljabar Vektor, Dot Product, & Cross Product

Perkalian Titik (Dot Product) & Sudut

Untuk \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) dan \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\):

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta \]

Dua vektor tegak lurus (ortogonal) \(\iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

Perkalian Silang (Cross Product)

Menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\):

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \det \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} \]

Besar \(|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta\) sama dengan luas jajaran genjang yang direntang.

Proyeksi Ortogonal Vektor \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\)
Proyeksi Skalar Ortogonal (Panjang Proyeksi): \[ |\vec{c}| = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \]
Vektor Proyeksi Ortogonal: \[ \vec{c} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \]
Referensi: Kerangka Asesmen Pusmendik Kemendikdasmen RI – Domain Geometri Vektor Analitik Tingkat Lanjut SMA/MA
Simulasi CBT

Latihan Interaktif (18 Soal)

Penilaian aman & otomatis
Cek Pemahaman
3 Soal
Soal 1 Pilihan Ganda mudah
5 Poin
Panjang (norma) dari vektor v = 2i - 3j + 6k adalah...
Soal 2 Pilihan Ganda Kompleks sedang
5 Poin
Manakah dari pernyataan mengenai sifat aljabar perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product) pada vektor R3 berikut yang BENAR? (Pilih dua jawaban benar)
Centang semua pilihan yang kamu anggap benar!
Soal 3 Benar / Salah sedang
6 Poin
Tentukan apakah setiap pernyataan mengenai relasi geometri vektor pada R3 berikut Benar atau Salah.
Tentukan apakah setiap pernyataan di bawah ini Benar atau Salah!
Pernyataan Benar Salah
Dua vektor tak-nol saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika hasil dot product bernilai nol.
Vektor hasil perkalian silang (u \u00d7 v) selalu tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh u dan v.
Proyeksi skalar ortogonal dapat bernilai negatif jika sudut antara dua vektor adalah sudut tumpul.
Panjang vektor proyeksi ortogonal dari u pada v dapat bernilai lebih besar daripada panjang vektor u.
Latihan TKA
10 Soal
Soal 4 Pilihan Ganda mudah
5 Poin
Diketahui vektor u = (2, -1, 3) dan v = (4, 2, -2). Nilai perkalian titik u \u22c5 v adalah...
Soal 5 Pilihan Ganda sedang
5 Poin
Jika vektor a = (1, 2, -1) dan vektor b = (k, -2, 4) saling tegak lurus, maka nilai konstanta k adalah...
Soal 6 Pilihan Ganda sedang
5 Poin
Besar sudut antara vektor u = (1, 1, 0) dan vektor v = (0, 1, 1) adalah...
Soal 7 Benar / Salah sedang
6 Poin
Diberikan titik-titik pada koordinat 3D: A(1, 2, 3), B(2, 4, 5), dan C(1, 3, 4). Evaluasi kebenaran pernyataan vektor berikut (Benar atau Salah).
Tentukan apakah setiap pernyataan di bawah ini Benar atau Salah!
Pernyataan Benar Salah
Vektor AB memiliki panjang (norma) sama dengan 3 satuan.
Nilai perkalian titik antara vektor AB dan vektor AC adalah 4.
Vektor normal yang dibentuk dari perkalian silang AB \u00d7 AC adalah (0, -1, 1).
Ketiga titik A, B, dan C terletak pada satu garis lurus (kolinier).
Soal 8 Pilihan Ganda Kompleks sedang
5 Poin
Diberikan vektor u = (2, -1, 2) dan vektor v = (3, 0, 4). Manakah hasil perhitungan berikut yang BENAR? (Pilih dua jawaban benar)
Centang semua pilihan yang kamu anggap benar!
Soal 9 Pilihan Ganda sedang
5 Poin
Diketahui vektor a = (1, 2, 2) dan b = (4, 0, 3). Vektor proyeksi ortogonal dari a pada arah b adalah...
Soal 10 Pilihan Ganda sedang
5 Poin
Diberikan vektor p = 2i + j - k dan q = i - 2j + 3k. Hasil dari perkalian silang p \u00d7 q adalah...
Soal 11 Pilihan Ganda sedang
5 Poin
Luas segitiga yang dibentuk oleh vektor u = (2, 0, 0) dan v = (0, 3, 0) di R3 adalah...
Soal 12 Pilihan Ganda Kompleks sedang
5 Poin
Jika u = (1, -1, 2) dan v = (2, 1, -1), manakah pernyataan berikut yang BENAR? (Pilih dua jawaban benar)
Centang semua pilihan yang kamu anggap benar!
Soal 13 Pilihan Ganda sedang
5 Poin
Vektor satuan (unit vector) yang searah dengan vektor a = 2i + 2j - k adalah...
Tantangan Penalaran
5 Soal
Soal 14 Pilihan Ganda sulit
7 Poin
Volume paralelepipedum yang dibentuk oleh tiga vektor u = (1, 0, 2), v = (0, 2, 3), dan w = (3, 1, 0) dihitung menggunakan perkalian tripel skalar |u \u22c5 (v \u00d7 w)|. Nilai volume tersebut adalah...
Soal 15 Pilihan Ganda sulit
7 Poin
Diberikan vektor u = (4, 1, 3) dan vektor v = (2, -2, 1). Vektor u didekomposisi menjadi u = u1 + u2, di mana u1 sejajar dengan v dan u2 tegak lurus terhadap v. Komponen vektor u2 adalah...
Soal 16 Benar / Salah sulit
8 Poin
Tentukan keabsahan identitas dan sifat aljabar perkalian vektor 3D berikut (Benar atau Salah).
Tentukan apakah setiap pernyataan di bawah ini Benar atau Salah!
Pernyataan Benar Salah
Identitas Lagrange menyatakan bahwa |u \u00d7 v|^2 = |u|^2 |v|^2 - (u \u22c5 v)^2.
Jika hasil cross product dua vektor tak-nol bernilai vektor nol (u \u00d7 v = 0), maka kedua vektor tersebut saling sejajar.
Tiga buah vektor u, v, dan w adalah koplanar (terletak pada bidang yang sama) jika u \u22c5 (v \u00d7 w) = 0.
Perkalian silang tiga vektor bersifat asosiatif: (u \u00d7 v) \u00d7 w = u \u00d7 (v \u00d7 w).
Soal 17 Pilihan Ganda Kompleks sulit
7 Poin
Sebuah drone bergerak di ruang 3 dimensi dengan vektor kecepatan v = 3i + 4j + 12k (m/s) dan vektor gaya dorong F = 6i - 2j + 3k (Newton). Manakah pernyataan fisika matematis berikut yang BENAR? (Pilih dua jawaban benar)
Centang semua pilihan yang kamu anggap benar!
Soal 18 Pilihan Ganda sulit
7 Poin
Diberikan bidang datar \u03c0 yang memuat titik P(1, 0, 1) dengan vektor normal n = 2i - j + 2k. Jarak tegak lurus dari titik Q(4, 3, 5) ke bidang \u03c0 adalah...
Sudah Selesai Mengerjakan?

Pastikan semua soal telah kamu jawab sebelum melihat skor dan pembahasan.

« Topik Sebelumnya Matriks, Determinan Ordo 3x3, dan Sistem Persamaan Linear Topik Berikutnya » Trigonometri Analitik Lanjut, Jumlah-Selisih Sudut, dan Konversi Hasil Kali
Nomor Soal
0 / 18
• Belum • Terjawab • Ragu
Ke Atas Soal
Tes Kemampuan Akademik SMA/MA • Matematika Tingkat Lanjut Gratis & Otomatis