Selamat datang di modul Polinomial dan Suku Banyak pada TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA/MA! Polinomial merupakan fondasi aljabar tingkat lanjut yang mempelajari fungsi suku banyak berderajat \(n \ge 3\). Modul ini menguji penguasaan algoritma pembagian (metode bersusun dan skema Horner/Horner-Kino), penerapan Teorema Sisa dan Teorema Faktor, penentuan akar-akar rasional, serta hubungan koefisien-akar melalui Rumus Vieta dalam pemodelan sains dan teknik.
1. Algoritma Pembagian & Teorema Sisa
Bentuk Umum Algoritma Pembagian
Jika suku banyak \(P(x)\) berderajat \(n\) dibagi oleh pembagi \(Q(x)\) berderajat \(m\) (\(m \le n\)), maka terdapat hasil bagi \(H(x)\) dan sisa \(S(x)\) sedemikian sehingga:
Derajat sisa \(S(x)\) selalu memenuhi: \(\text{deg}(S) < \text{deg}(Q)\). Jika pembagi berderajat 2, maka sisa berbentuk \(S(x) = ax + b\).
Teorema Sisa (Remainder Theorem)
- Jika \(P(x)\) dibagi oleh \((x - k)\), maka sisa pembagian adalah \(S = P(k)\).
- Jika \(P(x)\) dibagi oleh \((ax + b)\), maka sisa pembagian adalah \(S = P\left(-\frac{b}{a}\right)\).
- Jika \(P(x)\) dibagi oleh \((x - a)(x - b)\), maka sisa \(S(x) = mx + n\) dengan \(P(a) = ma + n\) dan \(P(b) = mb + n\).
Teorema Faktor & Rumus Vieta Derajat 3
- \((x - k)\) adalah faktor dari \(P(x)\) jika dan hanya jika \(P(k) = 0\).
- Untuk \(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) dengan akar-akar \(x_1, x_2, x_3\):
- \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{B}{A}\)
- \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{C}{A}\)
- \(x_1 x_2 x_3 = -\frac{D}{A}\)